\subsection{正多边形作图}\label{subsec:czjh2-7-18}

\begin{enhancedline}

半径为 $R$ 的正多边形的作图问题，实际上是它的外接圆的等分问题。
把圆 $n$ 等分后，顺次连结各分点，就得到正 $n$ 边形。

由于正 $n$ 边形的中心角 $\alpha_n = \dfrac{360^\circ}{n}$， 使用量角器，
作出中心角 $\alpha_n$， 就可以把圆分成 $n$ 等份，从而作出半径为 $R$ 的正 $n$ 边形。

又因为正 $n$ 边形的边长 $a_n = 2 R \sin \dfrac{180^\circ}{n}$，使用正弦函数表，
可以算出半径为 $R$ 的正 $n$ 边形的边长 $a_n$，用刻度尺和圆规也可以把圆分成 $n$ 等份，
再作出半径为 $R$ 的正 $n$ 边形。 《中学数学用表》上还有 “等分圆周表”，
给出了直径为 1 的圆的内接正三角形至内接正一百边形的边长，
即给出了 $2R = 1$ 时， $n$ 为 3 ～\, 100 的 $\alpha_n$ 的值。
实际上，这些值就是 $\sin\dfrac{180^\circ}{n}$ 的值。

用上面的方法作出的正 $n$ 边形，都是近似的，但对于一些特殊的正 $n$ 边形，
还可以使用直尺和圆规来作准确的图形。

（1） 正四、八、… 边形的作法。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-70-1}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-70-2}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-70}
\end{figure}


如图 \ref{fig:czjh2-7-70}， 在 $\yuan\,O$ 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以作出正四边形。
再逐次作所成的中心角的平分线，还可以作出正八、十六、… 边形。

（2） 作正六、三、十二、… 边形。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-71-1}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-71-2}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-71-3}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-71}
\end{figure}

正六边形的边长 $a_6 = R$， 从图 \ref{fig:czjh2-7-71} 中容易看出，用直尺圆规可以作出正六、三、十二、… 边形。


（3） 作正十、五边形。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-72}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-72}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-73}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-73}
    \end{minipage}
\end{figure}

假设正十边形已经作出，如图 \ref{fig:czjh2-7-72}， $AB$ 是 $\yuan\,O$ 内接正十边形的一边，
连结 $OA$、$OB$ 得到顶角 $\alpha_{10} = 36^\circ$，
底角为 $\dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ$ 的等腰三角形 $OAB$，
作底角的平分线 $BM$ 交 $OA$ 于 $M$， 可得到 $\angle ABM = \angle MBO = \angle AOB = 36^\circ$，
所以 $OM = MB$。 由 $\angle AMB = \angle MAB = 72^\circ$，得 $MB = AB$， 所以 $OM = AB$。
因为 $\triangle OAB \xiangsi \triangle BAM$， 得到 $OA : AB = BA : AM$，即
$$ OA : OM = OM : AM \juhao $$
所以 $M$ 是半径 $OA$ 的黄金分割点， $OM$ 等于正十边形的边长。

把圆的半径 $OA$ 作黄金分割， 如图 \ref{fig:czjh2-7-73}， $OM$ 就等于正十边形的边长。
以 $OM$ 为半径作弧等分圆周，顺次连结各分点，就得到正十边形 $ABC\cdots J$。

图 \ref{fig:czjh2-7-73} 中， 分点 $A$、$C$、$E$、$G$、$I$ 把 $\yuan\,O$ 分成 5 等份。
顺次连结各点，就得正五边形 $ACEGI$。

把圆分成 5 等份，还可以用下面作法：

如图 \ref{fig:czjh2-7-74} 甲，作已知圆 $O$ 的互相垂直的直径 $XY$ 和 $AZ$；取半径 $OX$ 的中点 $M$；
以 $M$ 为圆心， $MA$ 为半径作弧 $\yuanhu{AN}$， 和半径 $OY$ 相交于 $N$；
在 $\yuan\,O$ 上连续截取等弧， 使弦 $AB = BC = CD = DE = AN$；
则 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 就是所求作的分点。

把圆分成了 5 等份，还可以作出如图 \ref{fig:czjh2-7-74} 乙所示的正五角星形。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{10cm}
        \centering
        \begin{minipage}[b]{5cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-74-a}
            \caption*{甲}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}[b]{4.5cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-74-b}
            \caption*{乙}
        \end{minipage}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-74}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec18-lx-03}
        \caption*{}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{运用量角器作半径 $R = 4$ 厘米的正七边形和正九边形。
    再运用三角函数表计算出它们的边长，进行检验。
}

\xiaoti{按照图 \ref{fig:czjh2-7-74} 甲所示的作法，在半径为 3 厘米的圆中作出如图 \ref{fig:czjh2-7-74} 乙所示的正五角星形。}

\xiaoti{如图画近似椭圆。 先将 $\yuan\,O$ 六等分，分点为 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$，
    作互相垂直的直径 $AD$、$MN$， 连结 $DB$、$DF$ 与 $MN$ 分别相交于 $O_1$、$O_2$，
    分别以 $O_1$、$O_2$ 为圆心，以 $O_1B$ 为半径作 $\yuanhu{BC}$、$\yuanhu{EF}$；
    分别以 $A$、$D$ 为圆心， 以 $DB$ 为半径作 $\yuanhu{CE}$、$\yuanhu{BF}$，
    四条环连接成一个椭圆。
}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}
